Bất đẳng thức và cực trị

 - 



Bạn đang xem: Bất đẳng thức và cực trị

*
15 trang
*
ngochoa2017
*
*
756
*
0Download


Xem thêm: Quán Cafe Ngủ Trưa Hà Nội - Top 9 Quán Café Giường Nằm Tuyệt Vời Nhất Sài Gòn

quý khách đang xem tài liệu "Đề tài Bất đẳng thức cùng cực trị của hàm nhiều biến", để tải tài liệu cội về sản phẩm công nghệ các bạn cliông chồng vào nút DOWNLOAD ngơi nghỉ trên


Xem thêm: 12 Trang Web Tạo Link Rút Gọn Link Nhanh, Đơn Giản Nhất, Cách Rút Gọn Link

Bất đẳng thức cùng rất trị của hàm đa biếnThs.Phạm Huy Tân - Trường THPT Lương TàiI/ Phương pháp thay đổi tương đươnglấy ví dụ 1. Cho ab ≥1. Chứng minh: Giải: Đpcm (đúng)các bài luyện tập áp dụng:Cho a, b, c ≥1. Chứng minc Cho a, b, c, d, e ≥1. Chứng minch Cho Chứng minch lấy ví dụ 2. Cho a, b > 0, m cùng n là nhì số nguim dương. Chứng minh:(am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n)ambn + anbm ≤ am+n + bm+nGiải: Cả hai BĐT bên trên thuộc tương đương với BĐT : (an-bn)(am-bm) ≥0 (đúng)các bài tập luyện áp dụng: Cho a, b, c dương. Chứng minh:(a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6) với tất cả n nguim dương cùng với abc =1Ví dụ 3. Với phần nhiều số thực a, b, c. Chứng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + caGiải: Đpcentimet tương đương với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đúng).các bài luyện tập áp dụng: Với đều số thực a,b,c dương triệu chứng minh:a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)(ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)các bài luyện tập tự luyệnCho a≥b>0, c≥ . Chứng minh: Cho a, b, c dương. Chứng minh:a)b)II. Phương thơm pháp thực hiện bất đẳng thức Côđắm say lấy một ví dụ 1. CMR: với đa số x1,x2,,xn dươngGiải: vận dụng BĐT Côđê mê ta tất cả và Nhân vế cùng với vế 2 bất đẳng thức trên ta được Đpcentimet. Đẳng thức xẩy ra khi x1= x2 == xn.Bài tập áp dụng:Với các a,b,c dương, bệnh minh:Với gần như tam giác ABC, triệu chứng minh: Crúc ý: Ta coi ví dụ 1 như một tác dụng được vận dụng cho những ví dụ tại vị trí sau.Ví dụ 2: Cho a, b, c dương. Chứng minh:1)2)Giải: 1) Crúc ý: cũng có thể thực hiện BĐT Bunhia để minh chứng BĐT trên.2) vận dụng BĐT Cômê mẩn ta gồm Ta cũng có thể có 2 BĐT giống như như vậy. Cộng vế cùng với vế những BĐT này lại ta được Đpcm.Crúc ý : BĐT trên rất có thể minh chứng bằng cách thực hiện BĐT Bunhia hoặc hoàn toàn có thể sử dụng hiệu quả của BĐT 1). Bài tập áp dụng :1) Với gần như a, b, c dương bệnh minh: 2) Cho a, b, c dương cùng abc = 1. Tìm cực hiếm nhỏ tuổi nhất của biểu thức Phường = 3) Với đa số tam giác ABC bệnh minhlấy một ví dụ 3: Với các a, b, x, y dương chứng minhVới những a, b, c, x, y, z dương chứng tỏ Giải:1)2) Những bài tập áp dụng:Cho x, y,z dương với xyz =8. Tìm quý hiếm nhỏ dại tuyệt nhất của biểu thứcVới phần lớn tam giác ABC tìm quý hiếm nhỏ tuổi tốt nhất của biểu thứclấy một ví dụ 4 : Cho x, y, z dương vàChứng minc Giải: Từ giả thiết với vận dụng BĐT Côyêu thích ta có:Ta cũng đều có thêm 2BĐT tựa như như thế. Nhân vế cùng với vế những BĐT đó với thu gọn gàng ta được Đpcentimet.những bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dương vàChứng minh lấy ví dụ như 5 : Cho x, y dương, . Tìm quý giá nhỏ dại nhất của Giải : áp dụng Côsi mê ta có :Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc . Vậy minS = 5.ví dụ như 6 : Cho x, y, z dương cùng x+y+z = 1. Tìm min củaGiải : vận dụng BĐT Côđắm đuối ta có :Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ Lúc . Vậy Những bài tập áp dụng : Cho x,y, z dương cùng x+y+z = 1. Tìm cực hiếm lớn số 1 của Ví dụ 7 : Cho x,y,z dương cùng x+y+z = 6. Tìm quý hiếm bé dại nhất của biểu thứcGiải : vận dụng BĐT Cômê mệt ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tương tự điều này. Công các BĐT này lại ta được . Đẳng thức xẩy ra lúc và chỉ Khi x = y = z = 2. Vậy minA = 6.bài tập áp dụng :Cho x, y, z dương và x+y+z = 6. Tìm cực hiếm bé dại tuyệt nhất của Cho x, y, z dương và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ duy nhất của Ví dụ 8 : Cho x, y, z dương. Chứng minh:Giải: vận dụng BĐT Côđê mê ta có: . Ta cũng có thể có 2BĐT giống như như vậy. Cộng vế với vế những đẳng thức ta được Đpcmnhững bài tập áp dụng :Cho x, y, z dương với xyz = 8. Tìm cực hiếm nhỏ tuổi độc nhất củaCho x, y, z dương cùng xy + yz + zx = xyz. Chứng minh :Ví dụ 9 : Cho x, y, z dương cùng 4x + 4y + 4z = 3. Tìm cực hiếm lớn nhất của Giải : vận dụng Cômê man ta có : Ta cũng đều có 2 BĐT tương tự như như vậy. Cộng những phân thức đó lại ta được A≤3. Đẳng thức xảy ra Khi còn chỉ lúc .Vậy maxA = 3. bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dương cùng 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm quý hiếm lớn nhất củaví dụ như 10 : Cho x, y dương và Tìm quý hiếm nhỏ tốt nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra Lúc còn chỉ lúc x = y = 2. Vậy những bài tập áp dụng : Cho x, y dương và x + y ≥ 4. Chứng minh:lấy ví dụ 11 : Cho x, y, z dương với . Tìm quý hiếm nhỏ dại độc nhất của Giải : Cách 1 : Đẳng thức xảy ra Lúc còn chỉ Lúc . Vậy Cách 2: Chú ý: Học sinh dễ dẫn đến sai trái tìm thấy minP. = 6 ?!Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y dương với x + y = 1. Tìm quý hiếm nhỏ tốt nhất của2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ tuổi nhấtVí dụ 12 : Cho x, y, z dương với x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ độc nhất vô nhị củaGiải : Đẳng thức xảy ra Lúc và chỉ còn Lúc x = y = z = 2. Vậy minB = 24các bài luyện tập áp dụngCho x, y , z dương với x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất củaVới hầu như tam giác ABC search cực hiếm nhỏ dại tốt nhất của ví dụ như 13 : Cho a, b, c, d dương. Chứng minh:Giải: Ta gồm . Ta cũng có thể có 3 BĐT tương tự như điều này. Cộng những BĐT này lại ta được Đpcm.bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dương. Chứng minh1) 2) ví dụ như 14 : Cho x, y , z dương search quý giá nhỏ dại độc nhất vô nhị củaGiải : Mặt khác : . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ lúc x = y = z = 1. Vậy Lời bình: Còn hoàn toàn có thể tìm kiếm được 5 biện pháp giải không giống sử dụng BĐT Cômê mẩn. Mời chúng ta test sức!ví dụ như 15: Cho a, b,c là những số thực dương toại ý điều kiện a2+b2+c2+abc = 4. Chứng minc rằng a+ b + c ≤ 3.Giải: Cách 1: Đây là một trong những BĐT có điều kiện. trong những cách thức up load hầu như bài bác toán thù này là khử ĐK ngay từ trên đầu. Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 nlỗi phương trình bậc nhị theo a, ta đượcMột giải pháp tự nhiên và thoải mái, áp dụng BĐT Côsi mang đến căn uống thức vào biểu thức bên trên, ta tất cả đánh giáTừ kia Cách 2: Đặt , ta có4 = a2+ b2 + c2+ abc = a2 + 2t2 + at2+(b2+ c2- 2t2) + a(bc - t2)= Từ đây suy ra sẽ có tiến công giáCách 3 : Từ ĐK a2+b2+c2+abc = 4 ta suy ra . Từ đó áp dụng BĐT Côđắm say cho các số 2 – a, 2 – b, 2 – c ta có Từ đó suy ra Cách 4 : Cũng vì điều kiện sẽ gợi chúng ta đi cho phnghiền nỗ lực lượng giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA cùng b =2 cosB, c = 2 cosC, cùng với A, B là những góc nhọn. khi kia, tính c theo a, b, ta đượcVậy c = 2cos C cùng với . Nhỏng cầm cố điều kiện a2 + b2 + c2 +abc = 4 đã làm được tsi mê số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC cùng với , A, B, C> 0. Yêu cầu của bài toán trở nên bất đẳng thức thân thuộc trong tam giác:Đó là 1 trong giải mã nlắp gọn gàng mang lại bất đẳng thứcnhững bài tập áp dụng: Cho x, y, z dương với x2+ y2 + z2 + 2xyz = 1. Chứng minhNhững bài tập từ luyện1) Cho x, y dương. Chứng minh: 2) Cho x > y > 0. Tìm quý giá nhỏ tuổi độc nhất của 3) Cho x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ tuổi độc nhất của 4) Cho x, y ko âm với x + y = 1. Tìm quý hiếm nhỏ duy nhất và quý giá lớn nhất của 5) Cho x, y dương với x + y c > 0, b > c. Chứng minh: hotline x0 là nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0. Chứng minh Cho . Chứng minch 3x + 4y ≤ 5. Giải pmùi hương trình Với đông đảo tam giác ABC. Chứng minha)b) IV. Pmùi hương pháp hàm số với các cách thức kháclấy một ví dụ 1: Cho x, y, z dương cùng x + y + z = 1. Chứng minc Giải :Cách 1 :Giả sử . Lúc đó ta có Lập bảng biến chuyển thiên của f(x) trên nửa khoảng ta được Cách 2 :Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> 0 phải vào ba số 1-2x, 1-2y, 1-2z cần có ít nhất một trong những dương. Nếu cả ba số đó đều dương, áp dụng BĐT Côyêu thích ta có :Bất đẳng thức bên trên vẫn đúng trong số trường hòa hợp còn lại !?.bài tập áp dụng :Cho x, y, z ko âm với x + y + z = 1. Chứng minhCho x, y, z ko âm với x + y + z =3. Chứng minc x2 + y2 + z2 +xyz ≥4.lấy một ví dụ 2 : Cho x,y khác không và . Tìm quý hiếm lớn nhất của1)2)Giải :1) Đặt x=ty, trường đoản cú trả thiết suy ra Do đó . Lập bảng trở nên thiên của f(t) ta được Vậy maxA = 4. . Vậy maxB =16.các bài luyện tập áp dụng: Cho .Tìm quý giá lớn nhất củaVí dụ 3: Tìm quý giá nhỏ dại độc nhất của Giải: Trên phương diện phẳng cùng với hệ toạ độ Oxy, xét các điểm M(-1+x;-y) cùng N(1+x;y). Ta bao gồm OM + ON≥ MNLập bảng biến đổi thiên của f(y) ta được lấy một ví dụ 4: Cho a, b, c thuộc đoạn <1;2>. Chứng minh rằng Giải: BĐT tương tự vớiGiả sử a≥ b≥ c Đặt Lập bảng trở thành thiên của f(x) bên trên <1;2> ta được VT ≤ 7 => Đpcentimet.các bài luyện tập áp dụng: Cho a, b, c dương với . Tìm quý hiếm nhỏ dại tốt nhất của lấy ví dụ 5 : Cho . Chứng minh rằng Giải: Đpcentimet . Giả sử Đặt Lập bảng biến thiên của f(t) trên đoạn <1;3> ta được Đpcentimet.lấy ví dụ như 6: Cho x2 + y2 dương. Chứng minh rằng Giải: Đpcentimet tương đương cùng với (y ≠0).Đặt Đpcentimet tương đương cùng với . Lập bảng thay đổi thiên của f(t) ta được Đpcm (Khi y = 0 thì BĐT vẫn đúng).Ví dụ 7: Cho với a + b + c = 2. Chứng minc rằng: Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 và BĐT phải minh chứng bao gồm dạng Trong số đó f(x) = x4 – 2x3. Ta có tiếp tuyến đường của trang bị thị hàm số y=f(x) trên điểm bao gồm hoành độ x = 2 là y=8x – 16. Ta hi vọng gồm sự tiến công giá: f(x)≥8x – 16 vớiTa bao gồm . . Vậy ta tất cả giải thuật nhỏng sau:Lời giải : Ta có : Tương trường đoản cú ta cũng có. Cộng 3 BĐT này lại cùng nhau ta có (Đpcm).Crúc ý : Vì y = 8x - 16 là tiếp tuyến đường của đồ dùng thị hàm số y = x4 – 2x3 tại điểm gồm hoành độ x = 2 bắt buộc ta gồm sự đối chiếu f(x) – (8x - 16) = (x - 2)k g(x) với k ≥ 2 cùng g(2)≠0. Nhận xét: Nếu y = ax + b là tiếp đường của vật dụng thị hàm số y = f(x) trên điểm A(x0 ;y0) (A chưa phải là điểm uốn), khi ấy trường thọ một khoảngchứa điểm x0 thế nào cho hoặc . Đẳng thức xẩy ra lúc x = x0. Từ trên đây ta có : f(x1) + f(x2)+.+ f(xn)≥a(x1+ x2++ xn) +nb ( hoặc f(x1) + f(x2)+.+ f(xn) ≤ a(x1+ x2++ xn) +3n, với đa số và đẳng thức xảy ra lúc. .Nếu các biến chuyển xi gồm tổng (k không đổi) thì được viết lại dưới dạng sauf(x1) + f(x2)+.+ f(xn) ≥ ak + nb hoặc f(x1) + f(x2)+.+ f(xn) ≤ ak + nb. lấy một ví dụ 8 : Cho a, b, c là độ lâu năm tía cạnh tam giác. Chứng minc rằng:Nhận xét: BĐT nên chứng minh là thuần nhất buộc phải ta có thể đưa sử a+b+c = 1 nhưng mà ko làm mất tính bao quát của bài xích toán.lúc kia BĐT vẫn mang lại trsống thành: , nghỉ ngơi đó Bất đẳng thức đang đến xẩy ra vệt “=” Lúc . Tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số y = f(x) tại điểm gồm hoành độ xlà: y= 18x -3. Phải chăng ta có tiến công giá: (1)?!. Vì a,b,c là độ lâu năm bố cạnh tam giác hợp ý ĐK a+b+c = 1, đưa sử a = maxa,b,c, lúc ấy 1=a+b+c>2a . . Do kia (1) đúngLời giải: Không làm mất đi tính tổng quát ta giả sử a+b+c = 1, khi đó BĐT biến hóa Vì a, b,c là độ nhiều năm bố cạnh tam giác và a+b+c = 1 suy ra . Ta có: Ta cũng có thể có BĐT tương tự như. Cộng các BĐT này lại cùng nhau ta có : (Đpcm) Đẳng thức xẩy ra lúc. Bài tập trường đoản cú luyện1) Cho .Chứng minch rằng .2) Cho .Chứng minch rằng .3) Cho .Chứng minc rằng 4) Cho . Chứng minc rằng 5) Cho . Chứng minch rằng 6) Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng7) Cho x,y,z không giống 0. Chứng minh rằng 8) Cho . Tìm giá trị lớn số 1 của Xin tình thật cảm ơn !Thứa-Lương Tài, ngày 05 tháng 0hai năm 2009Ths.Phạm Huy Tân - trung học phổ thông Lương Tài - ĐT: 0126.234.6595

Chuyên mục: Tổng hợp