Công Thức Tính Đạo Hàm Cấp Cao

  -  

Cho hàm số có đạo hàm tại . Gọi là số gia của biến số tại . Ta gọi tích

*
là vi phân của hàm số f(x) tại điểm ứng với số gia . Kí hiệu
*
.

Cho hàm số có đạo hàm tại x. Ta gọi tích

*
là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu
*
. Nếu chọn hàm số
*
thì ta có
*
. Vì vậy ta thường kí hiệu
*
*
.

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1: Tìm vi phân của hàm số

PHƯƠNG PHÁP

a). Tính vi phân của hàm số f(x) tại cho trước:

Tính đạo hàm của hàm số tại .

Suy ra vi phân của hàm số tại ứng với số gia là

*
.

b). Tính vi phân của hàm số f(x).

Tính đạo hàm của hàm số .

Suy ra vo phân của hàm số:

*




Bạn đang xem: Công thức tính đạo hàm cấp cao

Ví dụ 1: Cho hàm số

*
. Tính vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia .


LỜI GIẢI

Ta có

*
. Do đó vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia là:
*
.

Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*

LỜI GIẢI

a). Ta có

*

suy ra

*

DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số:

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm

*
cho trước, ta áp dụng công thức .


Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*

e).

*
.


LỜI GIẢI

a). Ta có

*
. Xét hàm số
*

chọn

*
*
, ta có

*

b). Ta có

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
*
, ta có .

*
.

c). Ta có

*
.

Xét hàm số

*

Chọn

*
*
, ta có .

*

d). Ta có

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn và

*
, ta có .

*
.

e).

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
*
, ta có .

*
.

5.ĐẠO HÀM CẤP CAO

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Cho hàm số

*
có đạo hàm . Hàm số còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số . Nếu hàm số có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số , kí hiệu là y’’ hay
*
. Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số , kí hiệu là y’’’ hay f’’’
*
. Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp
*
là đạo hàm cấp n của hàm số , kí hiệu là
*
hay
*
, tức là ta có:

*
.

2.Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.

1.PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

*
để tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu.




Xem thêm: Trang Trí Quán Cà Phê Đẹp Vừa Độc Vừa Lạ 2021, Thiết Kế Quán Cafe Đẹp Hút Khách

Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:

a).

*
b).
*
c).
*

d).

*
e).
*
f).


LỜI GIẢI

a). Có

*

*

*

*
.

b). Ta có

*

*

c).

*

*

*
.

d).

*

*

*

e).

*

*

*

f).

*

*

DẠNG 2: Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Tính . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính .

Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp.

Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm tìm ra quy luật để dự đoán công thức chính xác.


Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

*


LỜI GIẢI

Bước 1: Ta có:

*

Dự đoán:

*

Bước 2: Chứng minh bằng quy nạp:

*
hiển nhiên đúng.

Giả sử đúng với nghĩa là ta có:

*
ta phải chứng minh cúng đúng với nghĩa là ta phải chứng minh

*

Thật vậy : vế trái

*
=vế phải
*
đúng, nghĩa là đúng với

Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra

*




Xem thêm: Giới Thiệu Chi Nhánh Điện Máy Xanh TạI ĐIệN Mã¡Y Xanh, Điện Máy Xanh (Dienmayxanh

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

*


LỜI GIẢI

Ta có:

*

*

Dự đoán:

*

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

*
hiển nhiên đúng.

Giả sử đúng với , nghĩa là ta có:

*
ta phải chứng minh cúng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh: