Công Thức Tính Đạo Hàm Cấp Cao

Cho hàm số có đạo hàm tại . Gọi là số gia của biến số tại . Ta gọi tích

là vi phân của hàm số f(x) tại điểm ứng với số gia . Kí hiệu .

Cho hàm số có đạo hàm tại x. Ta gọi tích

là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu . Nếu chọn hàm số thì ta có . Vì vậy ta thường kí hiệu và .

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1: Tìm vi phân của hàm số

PHƯƠNG PHÁP

a). Tính vi phân của hàm số f(x) tại cho trước:

Tính đạo hàm của hàm số tại .

Suy ra vi phân của hàm số tại ứng với số gia là

.

b). Tính vi phân của hàm số f(x).

Tính đạo hàm của hàm số .

Suy ra vo phân của hàm số:

Bạn đang xem: Công thức tính đạo hàm cấp cao

Ví dụ 1: Cho hàm số

. Tính vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia .

LỜI GIẢI

Ta có

. Do đó vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia là: .

Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:

a).

b). c). d).

LỜI GIẢI

a). Ta có

suy ra

DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số:

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm

cho trước, ta áp dụng công thức .

Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).

a).

b). c). d).

e).

.

LỜI GIẢI

a). Ta có

. Xét hàm số

chọn

và , ta có

b). Ta có

.

Xét hàm số

.

Chọn

và , ta có .

.

c). Ta có

.

Xét hàm số

Chọn

và , ta có .

d). Ta có

.

Xét hàm số

.

Chọn và

, ta có .

.

e).

.

Xét hàm số

.

Chọn

và , ta có .

.

5.ĐẠO HÀM CẤP CAO

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Cho hàm số

có đạo hàm . Hàm số còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số . Nếu hàm số có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số , kí hiệu là y’’ hay . Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số , kí hiệu là y’’’ hay f’’’ . Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp là đạo hàm cấp n của hàm số , kí hiệu là hay , tức là ta có:

.

2.Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.

1.PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

để tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu.

Xem thêm: Trang Trí Quán Cà Phê Đẹp Vừa Độc Vừa Lạ 2021, Thiết Kế Quán Cafe Đẹp Hút Khách

Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:

a).

b). c).

d).

e). f).

LỜI GIẢI

a). Có

.

b). Ta có

c).

.

d).

e).

f).

DẠNG 2: Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Tính . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính .

Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp.

Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm tìm ra quy luật để dự đoán công thức chính xác.

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

LỜI GIẢI

Bước 1: Ta có:

Dự đoán:

Bước 2: Chứng minh bằng quy nạp:

hiển nhiên đúng.

Giả sử đúng với nghĩa là ta có:

ta phải chứng minh cúng đúng với nghĩa là ta phải chứng minh

Thật vậy : vế trái

=vế phải đúng, nghĩa là đúng với

Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra

Xem thêm: Giới Thiệu Chi Nhánh Điện Máy Xanh TạI ĐIệN Mã¡Y Xanh, Điện Máy Xanh (Dienmayxanh

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

LỜI GIẢI

Ta có:

Dự đoán:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

hiển nhiên đúng.

Giả sử đúng với , nghĩa là ta có:

ta phải chứng minh cúng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh: