Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

  -  
BÀI TẬP NHÂN LIÊN HỢP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT-CÁCH GIẢI THÔNG QUA LIÊN HỢP PHÙ HỢP CHO NGƯỜI MỚI BẤT ĐẦU


Bạn đang xem: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

BÀI TẬP NHÂN LIÊN HỢP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT-CÁCH GIẢI THÔNG QUA LIÊN HỢP PHÙ HỢP CHO NGƯỜI MỚI BẤT ĐẦU 612 1
Mục lụcLời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii1 CHUỖI SỐ 11.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ . . . . . . 11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Phần dư của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Điều kiện để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Các phép toán trên các chuỗi hội tụ . . . . . . . . 31.1.5 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ . . . . . . . . 41.2 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG . . . . . . . . . . 41.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . .

Xem thêm: 5 Giai Đoạn Quản Trị Dự Án Là Gì ? Học Những Gì



Xem thêm: Dinh Dưỡng Cho Cây Trồng - Kiến Thức Cơ Bản Về Dinh Dưỡng Cho Cây

. . . . . . . . 51.2.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Dấu hiệu Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Dấu hiệu D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6 Dấu hiệu Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.7 Dấu hiệu Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓDẤU BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Các định lý Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . . 161.3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . 18iLời mở đầu....iiChương 1CHUỖI SỐBÀI TẬPBài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi1. P∞n=1n3n − 1GiảiĐặt un =n3n − 1Ta có limn→∞un = limn→∞n3n − 1=136= 0⇒ limn→∞un 6= 0 Vậy chuỗi P∞n=1n3n − 1là chuỗi phân kỳ2. P∞n=1 2n − 12n + 1n+1GiảiĐặt un =2n − 12n + 1n+1Ta cólimn→∞√n un = limn→∞ns2n − 12n + 1n+1= limn→∞ns2n − 12n + 1n·2n − 12n + 1= limn→∞2n − 12n + 1·nr2n − 12n + 1= 13. P∞n=11nGiải1Đặt un =1n, un+1 =1(n + 1)Xét limn→∞un+1un= limn→∞n(n + 1) = limn→∞1n + 1= 0 0GiảiĐặt un =n(x + 1)(x + 2)...(x + n); un+1 =(n + 1)(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)+) limn→∞un+1un= limn→∞(n + 1)n·(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)= limn→∞n + 1x + n + 1= 1+) limn→∞n·unun+1− 1= limn→∞n·x + n + 1n + 1− 1= limn→∞n·xn + 1=limn→∞nxn + 1= x.Nếu 0 1 thì chuỗi P∞n=1n(x + 1)(x + 2)...(x + n)hội tụ Mục lục Lời mở đầu CHUỖI SỐ 1.1 1.2 1.3 ii CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Phần dư chuỗi hội tụ 1.1.3 Điều kiện để chuỗi hội tụ 1.1.4 Các phép toán chuỗi hội tụ 1.1.5 Điều kiện cần đủ để chuỗi hội tụ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Dấu hiệu so sánh 1.2.3 Dấu hiệu tích phân 1.2.4 Dấu hiệu Cauchy 1.2.5 Dấu hiệu D’Alembert 10 1.2.6 Dấu hiệu Raabe 12 1.2.7 Dấu hiệu Gauss 14 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓ DẤU BẤT KỲ 14 1.3.1 Các định lý Dirichlet Abel 16 1.3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 18 i Lời mở đầu ii Chương CHUỖI SỐ BÀI TẬP Bài 1: Xét hội tụ chuỗi ∞ n n=1 3n − Giải n 3n − Ta có lim un = lim Đặt un = n = =0 n→∞ 3n − n→∞ ∞ ⇒ lim un = Vậy chuỗi n→∞ ∞ 2n − 2n + n=1 n+1 Giải Đặt un = n chuỗi phân kỳ n=1 3n − 2n − 2n + n+1 Ta có lim √ n n→∞ un = lim n→∞ n 2n − 2n + 2n − · n→∞ 2n + = lim n n+1 = lim n→∞ 2n − =1 2n + ∞ n=1 n! Giải n 2n − 2n + n · 2n − 2n + 1 , un+1 = n! (n + 1)! un+1 n! Xét lim = lim = chuỗi n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) Nếu nên > n + 2n 2n +∞ phân kỳ Vì chuỗi n n=1 +∞ √ n=1 chuỗi phân kỳ n + 2n +∞ n=1 n Giải Từ bất đẳng thức 1 1 ∞ 13 n=1 1− n n2 Giải Ta có: an = 1− n n2 Do đó: lim n→∞ √ n an = lim n n→∞ 1− n n2 = lim n→∞ 1− n n ln lim =e n→∞ lim n→∞ 1− n1 lim =e n.ln 1− n1 =e = e− = n n→∞ ln lim − = en→∞ hay x> e chuỗi cho phân kỳ e √ n! √ √ 16 lim √ n→+∞ (2 + 1)(2 + 2) (2 + n) Giải Ta có: √ n! √ √ an = √ , (2 + 1)(2 + 2) (2 + n) un ⇒ n· −1 un+1 an+1 = √ (2 + n! (2 + √ =n √ · (2 + 1) (2 + n) √ √ (n + 1)! √ √ 1)(2 + 2) (2 + n + 1) 1) (2 + √ (n + 1)! n+1 =√ 2n n+1 2n =∞>1 n→∞ n+1 Vậy chuỗi cho hội tụ Mà: lim √ Bài 2: Xét hội tụ tuyệt đối bán hội tụ ∞ (−1) n100 2n n(n−1) n=1 Đặt un = (−1) n(n−1) n100 2n n100 ; |un | = n n100 Ta có dãy {un } dãy đơn điệu tăng lim un = lim n → ∞ n→∞ n→∞ 100 ∞ n(n−1) n chuỗi phân kỳ ⇒ chuỗi (−1) 2n n=1 ∞ n(n−1) n100 (−1) Vậy chuỗi chuỗi bán hội tụ 2n n=1 ∞ (−1)n−1 n=1 np+ n Giải Đặt un = (−1)n−1 p+ n1 |un | = 1 n np+ n 1 Ta có |un | = p+ = n n np · n n 1 Đặt an = p , bn = n nn +) an = p chuỗi hội tụ p ≥ chuỗi phân kỳ p e dãy { n n} dãy đơn điệu giảm ⇒ { √ } dãy đơn n n điệu tăng √ ln lim n n lim ln n n n→∞ n +) lim n = lim n = e = en→∞ n = e0 = n→∞ n→∞ 1 = ⇒ dãy { √ } dãy bị chặn ⇒ lim √ n n n→∞ n n ∞ ∞ |un | = Theo dấu hiệu Abel n=1 ∞ (−1)n−1 n=1 np+ n Vậy n=1 1 np+ n hội tụ (p ≥ 1) chuỗi hội tụ tuyệt đối Bài 3: Tính tổng chuỗi số sau x2n−1 n=1 2n − Giải x2n−1 Đặt un (x) = 2n − (2n − 1)x2n+1 un+1 (x) | = lim | | = |x2 | chuỗi n=1 (x + 1)(x + 2) (x + n) Nếu nên > n + 2n 2n +∞ phân kỳ Vì chuỗi