Tìm trị riêng của ma trận

     

• Các nghiệm thực của đa thức đa thức đặc trưng PA(λ) gọi là quý hiếm riêng rẽ của ma trận

A.

• Nếu λ0 là một trong những quý hiếm riêng biệt của A thì det(A − λ0I) = 0. Do đó hệ phương thơm trình thuần hất:




Bạn đang xem: Tìm trị riêng của ma trận

*
10 trang
*
haha99
*
*
1223
*
0Download


Xem thêm:

Bạn sẽ coi tài liệu "Bài 16. Vectơ riêng rẽ - Giá trị riêng rẽ của ma trận với của phxay biến đổi con đường tính - Chéo hóa", để cài đặt tư liệu gốc về đồ vật chúng ta clichồng vào nút DOWNLOAD ở trên


Xem thêm: Tìm Việc Làm Freelancer Kế Toán, Việc Freelance

ĐẠI SỐ CƠ BẢN(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)Bài 16. Vectơ riêng - Giá trị riêng biệt của ma trậnvà của phxay biến hóa tuyến đường tính - Chéo hóaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 28 tháng hai năm 20061 Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận1.1 Các tư tưởng cơ bảnCho A là ma trận vuông cung cấp n, (A ∈Mn(R))a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n....... . ....an1 an2 . . . annLúc đó• Đa thức bậc n của thay đổi λ:PA(λ) = det(A− λI) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . a1na21 a22 − λ . . . a2n....... . ....an1 an2 . . . ann − λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)nλn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ1 + a0hotline là nhiều thức đặc thù của ma trận A.• Các nghiệm thực của nhiều thức nhiều thức đặc trưng PA(λ) hotline là quý giá riêng của ma trậnA.• Nếu λ0 là một trong quý hiếm riêng biệt của A thì det(A − λ0I) = 0. Do kia hệ phương thơm trình thuầnnhất:(A− λ0I) x1...xn = 0...0 (1)1có rất nhiều nghiệm. Không gian nghiệm của hệ (1) call là không khí nhỏ riêng biệt của ma trậnA ứng với cái giá trị riêng λ0. Các vectơ khác không là nghiệm của hệ (1) Hotline là những vectơriêng rẽ của ma trận A ứng với mức giá trị riêng λ0. Các vectơ chế tạo thành một cơ sở của khônggian riêng rẽ (có nghĩa là các vectơ tạo ra thành hệ nghiệm cơ phiên bản của hệ (1)) Gọi là những vectơ riêngđộc lập tuyến tính ứng với mức giá trị riêng λ0.1.2 Ví dụTìm nhiều thức đặc thù, vectơ riêng biệt, quý hiếm riêng của ma trận:A = 0 1 11 0 11 1 0Giải• Ta tất cả PAλ =∣∣∣∣∣∣−λ 1 11 −λ 11 1 −λ∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 3λ+ 2Vậy nhiều thức đặc thù của ma trận A là PA(λ) = −λ3 + 3λ+ 2• PA(λ) = 0⇔ −λ3 + 3λ+ 2 = 0⇔ (λ+ 1)2(2− λ) = 0⇔ λ = −1 (kép) , λ = 2.Vậy ma trận A có 2 quý giá riêng rẽ là λ = −1, λ = 2.• Để tìm vectơ riêng của A, ta xét nhì ngôi trường hợp:– Ứng với mức giá trị riêng biệt λ = −1.Để tra cứu vectơ riêng biệt ứng với giá trị riêng biệt λ = −1, ta giải hệ: 1 1 11 1 11 1 1∣∣∣∣∣∣000Hệ bao gồm rất nhiều nghiệm phụ thuộc vào nhì tyêu thích số x2, x3. Nghiệm tổng thể của hệ là:x1 = −a− b, x2 = a, x3 = b. Do kia, không khí con riêng của A ứng với giá trị riêngλ = −một là V−1 = (−a− b, a, b) .Các vectơ riêng rẽ của A ứng với giá trị riêng rẽ λ = −1 là toàn bộ những vectơ bao gồm dạng:(−a− b, a, b) với a2 + b2 6= 0 (do vectơ riêng biệt cần khác không).Ta gồm dimV−1 = 2 với A bao gồm 2 vectơ riêng rẽ tự do đường tính ứng với giá trị riêngλ = −1 là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1).– Ứng với mức giá trị riêng λ = 2.Để search vectơ riêng ứng với giá trị riêng rẽ λ = 2, ta giải hệ: −2 1 11 −2 11 1 −2∣∣∣∣∣∣000 −→ 1 1 −21 −2 1−2 1 1∣∣∣∣∣∣000−→ 1 1 −đôi mươi −3 30 −3 3∣∣∣∣∣∣000 −→ 1 1 −trăng tròn −3 30 0 0∣∣∣∣∣∣0002Hệ tất cả vô số nghiệm dựa vào tđắm say số x3. Nghiệm tổng thể của hệ là: x1 = a,x2 = a, x3 = a. Do kia, không khí con riêng của A ứng với giá trị riêng biệt λ = 2 làV2 = (a, a, a) .Các vectơ riêng rẽ của A ứng với giá trị riêng λ = 2 là tất cả các vectơ gồm dạng:(a, a, a) cùng với a 6= 0.Ta tất cả dimV2 = 1 cùng A có một vectơ riêng biệt tự do tuyến tính ứng với mức giá trị riêng biệt λ = 2là α3 = (1, 1, 1).Chú ý rằng, ví như xét cả nhì ngôi trường hòa hợp, A bao gồm toàn bộ 3 vectơ riêng tự do tuyến đường tính làα1, α2, α3.2 Chéo hóa ma trận2.1 Ma trận đồng dạng• Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta nói A đồng dạng với B, ký kết hiệu A ∼ B, nếutồn tại ma trận T vuông cấp cho n, không suy trở nên thế nào cho B = T−1AT . quý khách phát âm có thể dễdàng kiểm soát rằng tình dục đồng dạng là 1 trong quan hệ nam nữ tương đương.• Quan hệ đồng dạng bảo toàn tương đối nhiều những tính chất của ma trận, ví dụ điển hình nếu A ∼ Bthì detA = detB, rankA = rankB, PA(λ) = PB(λ), giá trị riêng của A với B là nhưnhau...2.2 Chéo hóa ma trận• Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cung cấp n.Ta nói ma trận A chéo cánh hóa được nếu như A đồng dạng với cùng 1 ma trận chéo. bởi vậy matrận A chéo cánh hóa được nếu vĩnh cửu ma trận T vuông cấp cho n không suy phát triển thành làm thế nào để cho T−1ATlà ma trận chéo.Chéo hóa ma trận A Tức là tra cứu ma trận T vuông cấp cho n không suy biến làm thế nào để cho T−1ATlà ma trận chéo.• Ý nghĩa của việc chéo cánh hóa ma trậnNếu ma trận A chéo cánh hóa được thì bài toán nghiên cứu và phân tích các đặc thù (bảo toàn qua quan hệđồng dạng) của ma trận A dẫn đến việc phân tích các tính chất đó bên trên một ma trậnchéo với điều đó sự việc sẽ trlàm việc buộc phải đơn giản hơn các.Muốn nắn biết ma trận A có chéo hóa được hay không, ta bao gồm định lý sau:• Định lý (Điều khiếu nại bắt buộc cùng đủ nhằm một ma trận vuông chéo hóa được)Ma trận A vuông cấp n chéo cánh hóa được Khi còn chỉ khi A có đầy đủ n vectơ riêng rẽ chủ quyền tuyếntính, khi còn chỉ khik∑i=1dimVλi = n, trong những số đó λ1, . . . , λk là toàn bộ những quý giá riêng của A.32.3 Cách chéo hóa một ma trậnCho A là ma trận vuông cung cấp n. Để chéo cánh hóa ma trận A, ta có tác dụng như sau:Tìm các cực hiếm riêng với những vectơ riêng rẽ độc lập tuyến tính của A. khi kia xảy ra một tronghai kĩ năng sau:1. Nếu tổng số vectơ riêng rẽ hòa bình tuyến đường tính của A nhỏ hơn n (tức làk∑i=1dimVλi

Chuyên mục: Tổng hợp